समीकरण $\left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & (1-x)^2 & -(2+x^2) \\ 2x+1 & 3x & 1-5x \\ x+1 & 2x & 2-3x \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} (1+x)^2 & 2x+1 & x+1 \\ (1-x)^2 & 3x & 2x \\ 1-2x & 3x-2 & 2x-3 \end{array} \right| = 0$

मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & \alpha \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} \beta & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,जहाँ $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$ है। मान लीजिए $\alpha_{1}$,$\alpha$ का वह मान है जो $(A + B)^{2} = A^{2} + \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix}$ को संतुष्ट करता है और $\alpha_{2}$,$\alpha$ का वह मान है जो $(A + B)^{2} = B^{2}$ को संतुष्ट करता है। तो $|\alpha_{1} - \alpha_{2}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि बहुपद $f(x) = \left|\begin{array}{ccc} (1+x)^{a} & (2+x)^{b} & 1 \\ 1 & (1+x)^{a} & (2+x)^{b} \\ (2+x)^{b} & 1 & (1+x)^{a} \end{array}\right|$ है, तो $f(x)$ का अचर पद ज्ञात कीजिए ($a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं)।

मान लीजिए $S = \{ m \in \mathbb{Z} : A^{m^2} + A^m = 3I - A^{-6} \}$,जहाँ $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ है। तो $n(S)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $K = \left|\begin{array}{ll}3 & 4 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}1 & -1 \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{3} & \frac{1}{4} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \left|\begin{array}{cc}\frac{1}{9} & -\frac{1}{16} \\ 5 & 4\end{array}\right| + \ldots \infty \text{ तक}$, तो $K = $

मान लीजिए कि $A$ और $B$ क्रमशः $\begin{bmatrix} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix} 0 & \gamma \\ \delta & 0 \end{bmatrix}$ के रूप के वास्तविक आव्यूह हैं।
कथन $1$: $AB - BA$ हमेशा एक व्युत्क्रमणीय (invertible) आव्यूह है।
कथन $2$: $AB - BA$ कभी भी एक तत्समक (identity) आव्यूह नहीं होता है।